이차곡선의 기하학적 관계를 이용한 고난도 문제

문제

좌표평면에 포물선 $C_1: y^2=4x$ 가 주어져 있고, 이 포물선의 초점을 $F_1$이라 하자. 타원 $C_2$의 두 초점은 $F_1$과 $F_2$이고, 쌍곡선 $C_3$의 두 초점은 $F_1$과 $F_3$이다.

다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $P$는 제1사분면에 있는 포물선 $C_1$ 위의 점이다. 점 $P$는 타원 $C_2$ 위에도 있으며, $\overline{PF_1} = \overline{PF_2}$ 이다. (나) 점 $Q$는 제1사분면에 있는 포물선 $C_1$ 위의 점이다. 점 $Q$는 쌍곡선 $C_3$ 위에도 있으며, 점 $Q$에서의 포물선 $C_1$의 접선과 선분 $QF_3$를 포함하는 직선은 서로 평행하다. ($F_3$는 $QF_3$ 위에 있지 않다.) (다) $F_1=(1,0)$ 이고, $F_2=(5,0)$ 이다. (라) $\overline{F_1F_3} = 4\sqrt{2}$ 이고, 점 $F_3$의 $x$좌표는 $F_1$의 $x$좌표보다 작다.

타원 $C_2$의 장축의 길이 $2a_2$와 쌍곡선 $C_3$의 주축의 길이 $2a_3$에 대하여 $a_2^2 + a_3^2$의 값을 구하시오.