이차곡선의 정의와 기하학적 관계를 활용한 장축 및 주축 길이의 합

문제

좌표평면에 두 초점 $F_1(3,0)$과 $F_2(-3,0)$를 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 또한, 초점이 $F_1$이고 준선이 $x=1$인 포물선 $P_A$가 있다. 포물선 $P_A$ 위의 점 $Q(x_Q, y_Q)$와 타원 $E$ 위의 점 $P(x_P, y_P)$는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $P$와 점 $Q$는 제1사분면에 있다. (나) 세 점 $P, Q, F_2$는 한 직선 위에 있다. (다) 선분 $F_1P$와 선분 $F_1Q$는 서로 수직이다.

이때, 타원 $E$의 장축의 길이와 쌍곡선 $H$의 주축의 길이의 합인 $2a_E + 2a_H$의 값을 구하시오.