이차곡선의 성질과 접선을 이용한 이심률 계산

문제

좌표평면 위에 포물선 $C_1: y^2=4px$ ($p>0$)와 타원 $C_2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)이 있다. 포물선 $C_1$의 초점을 $F_1$이라 하자. 타원 $C_2$의 두 초점은 $F_1$과 $F_3$이며, $F_3$의 $x$좌표는 음수이다. 다음 조건을 만족시키는 점 $A$, $B$에 대하여 타원 $C_2$의 이심률을 구하시오.

(가) 점 $A$는 제1사분면에 있는 포물선 $C_1$ 위의 점이며, 점 $A$에서의 $C_1$의 접선은 $F_3$을 지난다. (나) 점 $B$는 타원 $C_2$ 위의 점이며, 세 점 $F_1, F_3, B$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $F_1F_3B$는 $F_3$에서 직각이다. (다) 선분 $AB$는 $x$축에 평행하다.