세 이차곡선이 만들어내는 복합적인 거리 관계

문제

좌표평면 위에 두 점 $F_1(-2, 0)$, $F_2(2, 0)$가 있다. 다음 세 이차곡선이 주어져 있다.

(가) 타원 $E$는 두 점 $F_1, F_2$를 초점으로 가진다. (나) 쌍곡선 $H$는 두 점 $F_1, F_3(6, 0)$을 초점으로 가지며, 주축의 길이는 $2$이다. (다) 포물선 $P_a$는 점 $F_2$를 초점으로 가지며, 준선은 점 $F_3$을 지나는 직선 $x=6$이다.

점 $P$는 제1사분면에 있는 점으로, 타원 $E$와 쌍곡선 $H$의 교점이다. 점 $Q$는 포물선 $P_a$ 위의 점으로, 점 $F_3$을 지나는 직선 $L$이 포물선 $P_a$에 접하는 접점이다. 이때, 점 $P$ 또한 직선 $L$ 위에 있을 때, 선분 $PF_2$의 길이는 얼마인가?