이차곡선의 성질을 활용한 길이 문제

문제

좌표평면에서 두 초점 $F_1(1, 0)$과 $F_2(-1, 0)$을 공유하는 타원 $E$가 있다. 또한, 초점이 $F_1$이고 준선이 직선 $x=-1$인 포물선 $P$가 있다. 타원 $E$와 포물선 $P$의 교점 중 제1사분면에 있는 점을 $A$라 하자. 점 $A$에서의 포물선 $P$의 접선이 점 $F_2$를 지날 때, 다음 물음에 답하시오.

두 초점 $F_1(1,0)$, $F_2(-1,0)$을 공유하는 쌍곡선 $H$의 주축의 길이가 타원 $E$의 장축의 길이보다 짧다고 하자. 선분 $F_1A$를 포함하는 직선이 쌍곡선 $H$와 만나는 점 중에서 $A$가 아닌 점을 $B$라 할 때, $AB^2$의 값은?