세 이차곡선이 만드는 기하학적 도형

문제

좌표평면 위에 $c>0$인 상수 $c$에 대하여 두 점 $F_1(c,0)$과 $F_2(-c,0)$이 있다.

타원 $C_1$은 두 점 $F_1, F_2$를 초점으로 하고, 쌍곡선 $C_2$는 두 점 $F_1, F_2$를 초점으로 한다. 포물선 $C_3$는 점 $F_1$을 초점으로 하고 직선 $x=-c$를 준선으로 한다.

세 이차곡선 $C_1, C_2, C_3$가 제1사분면에서 만나는 점을 $P$라 하자. 이때, 선분 $PF_1$은 $x$축에 수직이다.

타원 $C_1$의 장축의 길이와 쌍곡선 $C_2$의 주축의 길이의 합이 $12\sqrt{2}$일 때, 타원 $C_1$의 단축의 길이의 제곱과 쌍곡선 $C_2$의 켤레축의 길이의 제곱의 합은?