세 이차곡선의 조건을 만족하는 초점 사이의 거리

문제

좌표평면 위에 다음 조건을 만족시키는 세 이차곡선 $P$, $E$, $H$가 있다.

(가) 포물선 $P$의 방정식은 $y^2 = 4x$ 이다. (나) 타원 $E$의 한 초점은 포물선 $P$의 초점 $F_1$과 같고, 다른 한 초점은 $F_2$이다. 타원 $E$의 이심률은 $\frac{1}{2}$이다. (다) 쌍곡선 $H$의 한 초점은 $F_2$이고, 다른 한 초점은 $F_3$이다. 원점 $O(0,0)$은 쌍곡선 $H$의 한 꼭짓점이다. (라) $F_1, F_2, F_3$은 모두 $x$축 위에 있으며, 점 $F_1$과 점 $F_2$ 사이의 거리는 포물선 $P$의 평면 위 선분 중 가장 짧은 초점-준선 간 거리의 두 배와 같다. (마) 점 $F_2$와 점 $F_3$ 사이의 거리는 타원 $E$의 장축의 길이의 두 배와 같다.

점 $F_1$과 점 $F_3$ 사이의 거리를 구하시오.