포물선과 타원의 심화 기하 문제

문제

좌표평면 위에 두 이차곡선이 있다. 포물선 $C_1$은 방정식 $y^2 = 4x$ 로 주어지고, 타원 $C_2$는 두 점 $F_1$과 $F_2$를 초점으로 한다.

다음 조건들을 만족할 때, 타원 $C_2$의 단축의 길이는?

(가) 포물선 $C_1$의 초점을 $F_1$이라 하자. (나) 포물선 $C_1$ 위의 점 $A$에서 그은 접선이 점 $F_2$를 지난다. (다) 점 $A$와 $F_1$ 사이의 거리는 $4$이다. 즉, $\overline{AF_1} = 4$. (라) 타원 $C_2$ 위의 점 $B$에 대하여 선분 $\overline{BF_1}$의 길이가 최소일 때, $\overline{BF_1} = \frac{1}{3}\overline{AF_1}$이다.