공유 초점 이차곡선 추론 문제

문제

좌표평면 위에 두 초점 $F_1(c,0)$과 $F_2(-c,0)$ (단, $c>0$)을 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 타원 $E$의 장축의 길이는 $12$이고, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이는 $4$이다.

점 $P$는 타원 $E$ 위의 제1사분면에 있는 점이고, 점 $Q$는 쌍곡선 $H$ 위의 제1사분면에 있는 점이다. 다음 조건들이 주어졌을 때, 선분 $PQ$의 길이를 구하시오.

(가) $PF_1 = 4$ (나) 세 점 $F_2, Q, P$는 이 순서대로 한 직선 위에 있다.