공통 초점을 갖는 타원과 쌍곡선의 교점 문제

문제

좌표평면에서 두 초점 $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$ (단, $c>0$)을 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 두 이차곡선 $E$와 $H$는 제1사분면 위의 한 점 $P$에서 만나고, 선분 $PF_1$과 선분 $PF_2$는 서로 수직이다. 타원 $E$의 장축의 길이를 $2a_E$, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이를 $2a_H$라 할 때, $2a_E + 2a_H = 12$ 이다. 또한 타원 $E$의 이심률 $e_E$와 쌍곡선 $H$의 이심률 $e_H$의 합이 $3$ 이다. 즉, $e_E + e_H = 3$ 이다. 이때, $c^2$의 값은?