이차곡선의 기하학적 성질과 점의 위치 관계

문제

좌표평면 위에 두 초점 $F(c, 0)$과 $F'(-c, 0)$을 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. $E$ 위의 점 $P$와 $H$ 위의 점 $Q$가 모두 제1사분면에 존재하며, 세 점 $P, F', Q$는 한 직선 위에 있다. 선분 $PF$와 선분 $QF$는 서로 수직이고, $PF = \sqrt{5}$, $QF = 3\sqrt{5}$이다. 이때, 타원 $E$의 장축의 길이 $2a_E$와 쌍곡선 $H$의 주축의 길이 $2a_H$의 곱 $a_E a_H$의 값은?

(단, $c > 0$이고, 타원 $E$의 장축은 $x$축 위에 있으며 쌍곡선 $H$의 주축도 $x$축 위에 있다.)