공유 초점을 갖는 타원과 쌍곡선의 길이 관계 추론

문제

좌표평면에 두 초점 $F_1(-3,0)$과 $F_2(3,0)$를 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 타원 $E$의 장축의 길이는 $10$이고, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이는 $4$이다. 제1사분면에 있는 타원 $E$ 위의 점 $P$와 쌍곡선 $H$ 위의 점 $Q$가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) 점 $Q$는 선분 $PF_2$ 위에 있다. (나) 삼각형 $F_1F_2Q$는 $F_1Q = F_1F_2$인 이등변삼각형이다.

이때, $PF_2 \cdot QF_1$의 값을 구하시오.