이차곡선: 타원과 쌍곡선의 심화 문제

문제

좌표평면에서 두 초점 $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$ (단, $c>0$)을 공유하는 타원 $\mathcal{E}$와 쌍곡선 $\mathcal{H}$가 있다. 타원 $\mathcal{E}$의 장축의 길이를 $2a$, 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 주축의 길이를 $2m$이라 하자.

점 $P$는 타원 $\mathcal{E}$ 위의 제1사분면 위의 점으로, 선분 $PF_1$은 $x$축에 수직이며 길이가 2이다. 점 $Q$는 쌍곡선 $\mathcal{H}$ 위의 제1사분면 위의 점이다. 선분 $PF_2$가 쌍곡선 $\mathcal{H}$에 점 $Q$에서 접하고, 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 이심률은 $\sqrt{2}$이다.

이때, $2a+2m$의 값은?