공통 초점을 가진 타원과 쌍곡선의 기하학적 관계의 정답은?

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매우 어려움이차곡선

공통 초점을 가진 타원과 쌍곡선의 기하학적 관계

공통 초점을 공유하는 타원과 쌍곡선 위의 두 점에 대한 기하학적 조건이 주어질 때, 두 곡선의 장축/주축 길이 관련 값을 구하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 3학년

문제

두 초점 $F(c,0)$ , $F'(-c,0)$ 를 공유하는 타원 $E$ 와 쌍곡선 $H$ 가 있다. 타원 $E$ 위의 점 $P$ 에 대하여 $\angle FPF' = 90^\circ$ 이고 $PF = 4$ 이다. 점 $Q$ 는 선분 $F'P$ 의 연장선 위에 있고 쌍곡선 $H$ 위의 점이다. 직선 $FP$ 는 직선 $F'Q$ 와 수직이다. 타원 $E$ 의 장축의 길이를 $2a_e$ , 쌍곡선 $H$ 의 주축의 길이를 $2a_h$ 라고 할 때, $a_e^2 + a_h^2$ 의 값을 구하시오.