이차곡선: 포물선, 타원, 쌍곡선 복합 문제

문제

좌표평면 위 두 점 $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$를 공유하는 타원 $\mathcal{E}$와 쌍곡선 $\mathcal{H}$가 있다. 단, $c>0$이다. 타원 $\mathcal{E}$ 위의 제1사분면에 있는 점 $P$에 대하여 $PF_1 = 6$, $PF_2 = 4$이다.

직선 $PF_1$이 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 왼쪽 가지와 만나는 점을 $Q$라 하고, 점 $Q$는 $Q, F_1, P$ 순으로 한 직선 위에 있다. 직선 $PF_2$가 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 오른쪽 가지와 만나는 점을 $R$이라 하고, 점 $R$은 $F_2, P, R$ 순으로 한 직선 위에 있다. 이때, $QF_2 = RF_1$일 때, 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 주축의 길이를 구하시오.