이차곡선의 기하학적 성질 종합 문제

문제

좌표평면에서 포물선 $P: y^2 = 2x$의 초점을 $F$라 하고, 점 $F'(-1/2,0)$을 정점이라 하자. 점 $A$는 포물선 $P$ 위의 제1사분면에 있는 점이다. 타원 $E$는 두 점 $F$와 $F'$를 초점으로 갖고, 점 $A$를 지난다. 쌍곡선 $H$는 두 점 $F$와 $F'$를 초점으로 갖고, 점 $A$를 지난다. 점 $A$에서의 포물선 $P$의 접선이 점 $F'$를 지날 때, 타원 $E$의 장축의 길이와 쌍곡선 $H$의 주축의 길이의 합을 구하시오.