이차곡선 초점과 직교 조건 활용 문제

문제

좌표평면 위에 두 점 $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$를 공통 초점으로 하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. ($c>0$)

타원 $E$의 장축의 길이는 $12$이고, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이는 $4$이다.

점 $P$는 타원 $E$ 위의 제1사분면에 있는 점으로, $\angle F_1PF_2 = 90^{\circ}$를 만족한다.

점 $Q$는 쌍곡선 $H$ 위의 제1사분면에 있는 점으로, $\angle F_1QF_2 = 90^{\circ}$를 만족한다.

두 초점 사이의 거리가 $F_1F_2 = 10$일 때, 사각형 $F_1PF_2Q$의 넓이를 구하시오.