이차곡선의 기하학적 성질을 이용한 거리 계산

문제

두 초점 $F(c,0)$와 $F'(-c,0)$를 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 쌍곡선 $H$의 방정식은 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$이고, 타원 $E$의 장축의 길이는 $10$이다. 점 $P$는 쌍곡선 $H$ 위의 제1사분면 위의 점이다. 선분 $PF$는 선분 $F'F$에 수직이다. 점 $Q$는 타원 $E$ 위의 제1사분면 위의 점이다. 삼각형 $QFF'$의 넓이는 $12$이다. 두 점 $P$와 $Q$ 사이의 거리를 구하시오.