이차곡선 통합 문제: 포물선과 쌍곡선의 고난도 분석

문제

좌표평면에서 포물선 $P_1: y^2=4x$ 의 초점을 $F_1$ 이라 하고, 준선을 $L$ 이라 하자. 점 $A$ 는 포물선 $P_1$ 위의 제1사분면에 있는 점이다. 점 $A$ 에서의 포물선 $P_1$ 의 접선이 $y$축과 만나는 점을 $M$ 이라 하자. 삼각형 $AF_1M$ 의 넓이가 $2\sqrt{3}$ 일 때, 다음 조건을 만족하는 쌍곡선 $P_2$ 의 주축의 길이를 구하시오.

쌍곡선 $P_2$ 는 두 초점이 $F_1$ 과 $F_2(-1,0)$ 이다. 선분 $AF_1$ 을 포함하는 직선과 쌍곡선 $P_2$ 의 한 점근선이 서로 수직이다.