세 이차곡선이 지나는 점과 축의 길이

문제

포물선 $C_P: y^2 = 4x$의 초점을 $F_1$이라 하자. 두 점 $F_1$과 $F_2(5,0)$을 초점으로 하는 타원을 $C_E$라 하자. 두 점 $F_2(5,0)$와 $F_3(9,0)$을 초점으로 하는 쌍곡선을 $C_H$라 하자. 점 $P$는 세 곡선 $C_P, C_E, C_H$ 위에 동시에 존재하며, $\overline{PF_1} + \overline{PF_2} + \overline{PF_3} = 15$를 만족한다. 타원 $C_E$의 장축의 길이를 $L_E$, 쌍곡선 $C_H$의 주축의 길이를 $L_H$라 할 때, $L_E + L_H$의 값은?