이차곡선의 성질과 거리의 합 고난도 문제

문제

좌표평면에서 두 초점이 $F_1(1,0)$과 $F_2(-1,0)$인 타원 $C_2$와 쌍곡선 $C_3$가 있다. 포물선 $C_1: y^2=4x$가 주어진다.

점 $P$는 제1사분면에 있는 $C_1$ 위의 점으로, $P$에서의 $C_1$의 접선이 점 $F_2$를 지난다. 점 $Q$는 제1사분면에 있는 $C_2$ 위의 점으로, $Q$의 $x$좌표는 $F_1$의 $x$좌표와 같다. 점 $R$은 제1사분면에 있는 $C_3$ 위의 점으로, 선분 $F_1R$이 원점 $O(0,0)$을 지난다.

$PF_1 + QF_2 + RF_1 = \frac{9}{2}$일 때, $C_2$의 장축의 길이와 $C_3$의 주축의 길이의 합은?