이차곡선의 심화 성질

문제

좌표평면 위 두 초점 $F(c, 0)$과 $F'(-c, 0)$을 공유하는 타원 $C_1$과 쌍곡선 $C_2$가 있다. ($c>0$) 타원 $C_1$의 장축의 길이를 $2a$, 쌍곡선 $C_2$의 주축의 길이를 $2a'$이라 하자. 점 $P$는 제1사분면에 있는 타원 $C_1$ 위의 점이고, 점 $Q$는 제1사분면에 있는 쌍곡선 $C_2$ 위의 점이다. 다음 조건을 만족할 때, 타원 $C_1$의 장축의 길이 $2a$는?

(가) $P, Q, F'$은 한 직선 위에 있으며, 점 $P$는 선분 $F'Q$ 위에 있다. (나) 선분 $FQ$와 선분 $F'Q$는 서로 수직이다. (다) $PF = 3PQ$ (라) $PF' = \sqrt{2}$ (단, $c=2$ 이다.)