세 이차곡선의 기하학적 관계

문제

좌표평면에서 두 점 $F_1(-3, 0)$과 $F_2(3, 0)$을 공통 초점으로 하는 타원 $\mathcal{E}$와 쌍곡선 $\mathcal{H}$가 있다. 타원 $\mathcal{E}$의 장축의 길이는 $10$이고, 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 주축의 길이는 $4$이다.

점 $P$는 제1사분면에 있는 타원 $\mathcal{E}$ 위의 점이며, 동시에 초점이 $F_2$이고 준선이 직선 $x=-3$인 포물선 $\mathcal{P}$ 위의 점이다. 점 $Q$는 제1사분면에 있는 쌍곡선 $\mathcal{H}$ 위의 점이며, 세 점 $F_1, P, Q$는 이 순서대로 한 직선 위에 있다. 이때, 선분 $QF_2$의 길이를 구하시오.