이차곡선의 접선과 현의 길이

문제

좌표평면 위에 다음과 같은 세 이차곡선이 있다.

• 포물선 $P_A$: $y^2 = 8x$
• 타원 $E$: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$
• 쌍곡선 $H$: $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$

직선 $l$은 포물선 $P_A$ 위의 한 점 $P$에서 접하고, 쌍곡선 $H$ 위의 한 점 $R$에서도 접한다. 이때, 점 $P$와 $R$은 모두 제1사분면에 위치한다. 이 직선 $l$이 타원 $E$와 만나는 두 점을 $Q_1, Q_2$라 할 때, 선분 $Q_1Q_2$의 길이는?