타원과 쌍곡선의 복합 관계 문제

문제

좌표평면에서 두 점 $F_1(-5, 0)$과 $F_2(5, 0)$을 초점으로 하는 타원 $E: \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{24} = 1$과 쌍곡선 $H: \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$이 있다. 제1사분면에 있는 점 $P$는 쌍곡선 $H$ 위의 점이고, 점 $Q$는 타원 $E$ 위의 점이다.

선분 $F_1F_2$의 수직이등분선 위에 점 $Q$가 있고, 세 점 $F_1, Q, P$는 한 직선 위에 있으며 점 $Q$는 선분 $F_1P$ 위에 있을 때, $PQ+QF_2$의 값은?