이차곡선: 타원과 쌍곡선의 고난도 관계 문제

문제

좌표평면에서 두 초점 $F(6, 0)$과 $F'(-6, 0)$을 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 타원 $E$의 방정식은 $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$ 이다. 제1사분면에 있는 타원 $E$ 위의 점 $P$와 제1사분면에 있는 쌍곡선 $H$ 위의 점 $Q$에 대하여, 세 점 $F', P, Q$는 한 직선 위에 있고, 선분 $FP$와 선분 $FQ$는 서로 수직이다. 이때 쌍곡선 $H$의 주축의 길이는? (단, $2k$는 쌍곡선 $H$의 주축의 길이이다.)