공통 초점을 가진 이차곡선의 성질

문제

좌표평면에서 두 초점 $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$ (단, $c>0$)를 공유하는 타원 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (단, $a>b>0$)과 쌍곡선 $H: \frac{x^2}{k^2} - \frac{y^2}{l^2} = 1$ (단, $k>0, l>0$)이 있다. 다음 조건을 만족하는 $a^2$의 값을 구하시오. (단, $a, k, c$는 양수이고, $a>k>0$ 이다.)

(가) 타원 $E$ 위의 점 $P$와 쌍곡선 $H$ 위의 점 $Q$는 모두 제1사분면에 존재한다. (나) 선분 $F_1P$는 쌍곡선 $H$의 점근선 중 하나와 평행하다. (다) $QF_1 = 3QF_2$ (라) 점 $P$와 점 $Q$의 $y$좌표는 같다.