포물선과 타원의 만남

문제

좌표평면에서 포물선 $C_1: y^2=4x$의 초점을 $F_1$이라 하자. 타원 $C_2$는 두 초점 $F_1$과 $F_2(-1,0)$을 갖는다. 포물선 $C_1$ 위의 점 $P$가 제1사분면에 있고, 점 $P$는 타원 $C_2$ 위에도 존재한다. 삼각형 $PF_1F_2$의 넓이가 $2\sqrt{3}$일 때, 타원 $C_2$의 장축의 길이를 구하시오.