이차곡선의 정의를 활용한 좌표 계산

문제

좌표평면에서 두 점 $F_1(-4, 0)$과 $F_2(4, 0)$을 각각 초점으로 하는 타원 $\mathcal{E}$와 쌍곡선 $\mathcal{H}$가 있다. 포물선 $\mathcal{P}$는 $F_2$를 초점으로 하고 직선 $x=-4$를 준선으로 한다. 타원 $\mathcal{E}$의 장축의 길이는 12이고, 쌍곡선 $\mathcal{H}$의 주축의 길이는 4이다.

제1사분면에 있는 세 점 $A, B, C$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $A$는 타원 $\mathcal{E}$ 위에 있고 $AF_2 = CF_2 - 1$ 이다. (나) 점 $B$는 쌍곡선 $\mathcal{H}$ 위에 있고 $BF_1 = CF_2 + 1$ 이다. (다) 점 $C$는 포물선 $\mathcal{P}$ 위에 있다. (라) $BF_2 = 3$ 이다.

세 점 $A, B, C$의 $x$좌표를 각각 $x_A, x_B, x_C$라 할 때, $3(x_A + x_B + x_C)$의 값을 구하시오.