공유초점 이차곡선의 직각 교점과 이심률

문제

좌표평면에서 두 초점 $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$ (단, $c>0$)를 공유하는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$가 있다. 타원 $E$의 장축의 길이를 $2a_E$, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이를 $2a_H$라 하자. 점 $P$는 제1사분면에 있는 타원 $E$와 쌍곡선 $H$의 교점이며, $\angle F_1 P F_2 = 90^\circ$ 이다. 타원 $E$의 장축의 길이가 8이고, 이심률이 $\frac{\sqrt{3}}{2}$일 때, 쌍곡선 $H$의 주축의 길이 $2a_H$의 값은?