포물선과 타원의 관계 및 삼각형 넓이 활용

문제

좌표평면에서 포물선 $C_1: y^2 = 8x$ 의 초점을 $F_1$ 이라 하자. 점 $F_2(-2, 0)$ 에 대하여 두 점 $F_1, F_2$ 를 초점으로 하는 타원 $C_2$ 가 있다. 제1사분면에 있는 점 $P(x_0, y_0)$ 은 포물선 $C_1$ 과 타원 $C_2$ 위에 모두 있는 점이다. 포물선 $C_1$ 위의 점 $P$ 에서의 접선이 $y$-축과 만나는 점을 $A$, 선분 $PF_2$ 가 $y$-축과 만나는 점을 $B$ 라 하자. 삼각형 $PAB$ 의 넓이가 $3\sqrt{3}$ 일 때, 타원 $C_2$ 의 장축의 길이는?