공통 초점 이차곡선의 교점 문제

문제

두 초점 $F_1(c,0)$과 $F_2(-c,0)$를 공유하는 타원 $C_E$와 쌍곡선 $C_H$가 있다. ($c>0$, 두 초점 사이의 거리는 $4\sqrt{2}$이다.) 타원 $C_E$와 쌍곡선 $C_H$는 제1사분면에서 점 $P$에서 만난다. 점 $P$의 $x$좌표는 $c$이고, 삼각형 $PF_1F_2$의 넓이는 4이다. 이때, 타원 $C_E$의 장축의 길이를 구하시오.