타원과 쌍곡선의 정의를 활용한 거리 문제

문제

타원의 장축의 길이는 $10$이고, 쌍곡선의 주축의 길이는 $4$이다. 두 이차곡선은 두 초점 $F_1, F_2$를 공유하며, 두 초점 사이의 거리는 $6$이다. 점 $P$는 타원 위에 있고, $\overline{PF_1} = 3$이다. 점 $Q$는 제1사분면에 있는 쌍곡선 위의 점이며, $\overline{QF_1} = 7$이다. 이때, $\overline{PF_2} + \overline{QF_2}$의 값은?