세 이차곡선의 심화 관계

문제

좌표평면 위에 두 점 $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$ ($c>0$)을 초점으로 하는 타원 $C_1$과 쌍곡선 $C_2$가 있다. 타원 $C_1$의 장축의 길이는 $2a_1$이고, 쌍곡선 $C_2$의 주축의 길이는 $2a_2$이다. 점 $P(x_P, y_P)$는 제1사분면에 있는 $C_1$과 $C_2$의 교점이다.

포물선 $C_3$은 초점이 $F_3(k,0)$이고 준선이 $x=-k$인 포물선이다. 선분 $F_2P$는 포물선 $C_3$과 제1사분면의 점 $Q$에서 만나고, $Q$는 선분 $F_2P$의 중점이다.

$a_1 = 2c$이고 포물선 $C_3$의 $k = \frac{c}{4}$일 때, $\frac{a_2}{c}$의 값은? (단, $a_1 > c$이고 $a_2 < c$이다.)

(1) $\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$ (2) $\frac{-2+\sqrt{19}}{3}$ (3) $\frac{-1+\sqrt{21}}{3}$ (4) $\frac{-2+\sqrt{23}}{3}$ (5) $\frac{-1+\sqrt{29}}{3}$