삼각함수 그래프와 방정식의 해의 개수

문제

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $g(x)$와 세 상수 $A, C$ ($A>0$)에 대하여 함수 $f(x) = A\sin(Bx) + C$가 다음 조건을 만족시킨다. 단, $B$는 양수이다.

(가) 함수 $f(x)$의 주기는 $4\pi$이다. (나) 함수 $f(x)$의 최댓값과 최솟값의 차이는 $12$이다. (다) 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(\pi, 8)$을 지난다. (라) 양의 상수 $k$에 대하여 방정식 $|f(x)| = k$는 닫힌 구간 $[0, 8\pi)$에서 서로 다른 실근의 개수가 $6$이다.

$A+2C+k$의 값을 구하시오.