삼각함수 고난도 문항: 그래프와 방정식의 해의 개수

문제

양의 상수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = a\sin(bx) + 7$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$의 최댓값은 10이다. (나) 방정식 $f(x) = 7$은 닫힌 구간 $[0, 3\pi]$에서 서로 다른 8개의 실근을 갖는다.

함수 $g(x) = f(x) - 4$에 대하여 방정식 $g(x)=p$가 닫힌 구간 $[0, 3\pi]$에서 서로 다른 실근의 개수가 12가 되도록 하는 상수 $p$의 값은 오직 하나 존재한다. 이 $p$의 값과 $a,b$를 이용하여 $a+b+p$의 값을 구하시오.