삼각함수 미정계수 및 근의 개수 추론 문제

문제

함수 $f(x) = a \sin(bx) + c$ (단, $a, b, c$는 상수이고 $a>0, b>0$)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$의 최댓값은 $4$이고 최솟값은 $-2$이다. (나) 닫힌 구간 $[0, \pi]$에서 방정식 $f(x)=2$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$개이고, 이 모든 실근의 합은 $\frac{\pi}{2}$이다.

함수 $f(x)$에 대하여 방정식 $|f(x)|=2$의 닫힌 구간 $[0, 2\pi]$에서의 서로 다른 실근의 개수를 $N$이라 할 때, $a+b+c+N$의 값을 구하시오.