삼각함수 그래프와 방정식의 해

문제

양수 $A$, 양수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = A \sin(ax) + B$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$의 최댓값은 $2$이고 최솟값은 $-4$이다. (나) $x \in [0, 2\pi]$에서 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이고, 그 두 실근의 합이 $\pi$일 때, 상수 $k$의 값은 $-1 < k < 2$를 만족시킨다.

방정식 $|f(x)| = 1$의 $x \in [0, 3\pi]$에서 서로 다른 모든 실근의 합을 $S$라 할 때, $\frac{S}{\pi}$의 값을 구하시오.