삼각함수 그래프와 방정식의 근

문제

함수 $f(x) = a \cos\left(\frac{\pi}{6}x\right) + b$ 에 대하여 다음 조건들을 만족한다. (단, $a, b$는 상수이고, $a>0$ 이다.)

(가) 함수 $f(x)$의 최댓값은 $2$이고 최솟값은 $-4$이다. (나) 방정식 $f(x)=0$의 모든 실근 $x$ 중, 열린 구간 $(0, k)$에서 서로 다른 실근의 개수는 정확히 $4$개이다.

위 조건을 만족하는 상수 $k$에 대하여 $f(k)$의 값을 구하시오.