삼각함수 그래프의 성질과 방정식의 해

문제

변수 $a, b, c$는 실수이며 $a>0$, $b>0$이다. 함수 $f(x) = a \sin(bx) + c$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 함수 $g(x) = |f(x)|$ 가 있다.

(가) 함수 $y=g(x)$는 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 최댓값은 $5$이고, 최솟값은 $0$이다.

(나) 방정식 $g(x)=3$은 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 서로 다른 실근의 개수가 $8$이다.

(다) 함수 $y=f(x)$가 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 최솟값을 가질 때의 모든 $x$ 값의 합은 $\frac{5\pi}{2}$이다.

$a+b+c$의 값을 구하시오.