삼각함수의 방정식과 근의 합 문제

문제

실수 $a, b, c$는 $a>0$, $b>0$인 상수이다. 함수 $f(x) = a\sin(bx) + c$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)$의 최댓값은 8이고, 최솟값은 2이다. (나) 방정식 $f(x)=k$의 서로 다른 실근의 개수가 구간 $[0, \frac{10\pi}{3}]$에서 정확히 8개이고, 이 근들의 합은 $\frac{31\pi}{3}$이다. (다) $x_1 < x_2 < \dots < x_8$이 위 방정식의 근이라고 할 때, $x_2+x_7 = \frac{7\pi}{2}$이다.

상수 $k$의 값은?