절댓값을 포함한 삼각함수의 방정식 실근 개수 추론 문제

문제

양의 정수 $a, c, k$에 대하여 함수 $f(x) = |a \cos(kx) - c|$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$의 최댓값은 $7$이다. (나) 구간 $0 \le x < \frac{4\pi}{k}$ 에서 방정식 $f(x) = 7$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다. (다) 구간 $0 \le x < \frac{4\pi}{k}$ 에서 방정식 $f(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다. (라) 구간 $0 \le x < \frac{4\pi}{k}$ 에서 방정식 $f(x) = 7$의 가장 작은 양의 실근은 $\frac{\pi}{4}$이다. (마) 구간 $0 \le x < \frac{4\pi}{k}$ 에서 방정식 $f(x) = \frac{7}{2}$의 서로 다른 실근의 개수는 $8$이다.

$a+c+k$의 값을 구하시오.