삼각함수 고난도 문제: 함수 절댓값 방정식의 실근 개수

문제

함수 $f(x) = a \sin(\pi x) + b$ (단, $a, b$는 상수이고 $a > 0$) 가 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$의 최솟값은 $-1$이다. (나) 방정식 $f(x) = 0$ 은 구간 $(0, 4)$ 에서 서로 다른 4개의 실근을 갖는다. (다) 방정식 $|f(x)| = \frac{1}{2}$ 은 구간 $[0, 4]$ 에서 서로 다른 6개의 실근을 갖는다.

상수 $a$ 의 값은?