삼각함수 방정식의 근의 개수와 합

문제

양의 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = \left|2\cos\left(\frac{\pi}{a}x\right) - 1\right|$ 이 있다. 구간 $[0, 20]$에서 방정식 $f(x) = 1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $11$개이고, 이 모든 근의 합은 $\frac{219}{2}$이다. 이때, $a$의 값은?