특별한 조건을 가진 수열의 합과 항의 값

문제

수열 $\{a_n\}$은 $a_1=30$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 두 조건을 만족한다.

(가) $a_n > 0$ 이면 $a_{n+1} = a_n - p$ (나) $a_n \le 0$ 이면 $a_{n+1} = a_n + q$

여기서 $p$와 $q$는 서로 다른 양의 실수 상수이다.

이 수열 $\{a_n\}$은 $a_{k_1}=0$인 자연수 $k_1$과 $a_{k_2}=0$인 자연수 $k_2$ ($k_1 < k_2$)가 정확히 두 개 존재하며, 모든 $n$에 대해 $a_n e 0$이다. 단, $a_{k_1}=0$ 또는 $a_{k_2}=0$인 경우는 $a_n e 0$ 조건을 만족하지 않는 것으로 간주한다.

$\sum_{n=1}^{10} a_n = 160$ 이고 $\sum_{n=1}^{20} a_n = 100$ 일 때, $a_{20}$의 값은?