등차수열과 등비수열의 교차점 문제

문제

자연수 $k \ge 2$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$이 있다.

(가) $a_1 = -4$ 이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \neq 0$ 이다. (나) $a_1, a_2, \dots, a_k$는 공차가 $d$인 등차수열을 이루고, $d \neq 0$ 이다. (다) $a_k, a_{k+1}, \dots, a_{2k-1}$은 공비가 $r$인 등비수열을 이루고, $r \neq 1$ 이며 $r>0$ 이다. (라) $a_n$의 모든 항은 정수이다. (마) $\sum_{n=1}^{2k-1} a_n = 200$ 이다. (바) $|a_{2k-1}| = 4|a_1|$ 이다.

위 조건을 모두 만족시키는 $a_{2k-1}$의 값을 구하시오.