두 수열의 관계

문제

두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이고, $a_1 > 0$, $d \neq 0$이다. (나) $\{b_n\}$은 공비가 $r$인 등비수열이고, $b_1 > 0$, $r \neq 1$이다. (다) $a_1 = b_1$ 이고 $a_3 = b_3$ 이다. (라) $a_1 + a_2 + \cdots + a_8 = 100$ 이다. (마) $a_k = b_{k+1}$ 을 만족시키는 자연수 $k$가 존재하며, $k \ge 3$ 이다.

이때, $a_7$ 의 값은?