수열의 복합적 성질 활용 문제

문제

첫째항이 $k$인 등차수열 $\{a_n\}$과 첫째항이 $k$인 등비수열 $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족한다. ($k$는 양의 정수)

(가) 등차수열 $\{a_n\}$의 공차 $d$는 $0$이 아니고, 등비수열 $\{b_n\}$의 공비 $r$은 $1$이 아니다. (나) $a_2 = b_3$ 이고 $a_4 = b_5$ 이다. (다) 수열 $\{b_n\}$의 모든 항이 양수는 아니다. (라) $N \ge 2$인 자연수 $N$ 중 $a_N$과 $b_N$이 모두 완전제곱수가 되는 가장 작은 $N$에 대하여, $a_1$은 한 자리 양의 정수이다.

$a_1$이 될 수 있는 값 중 가장 큰 값을 $k_M$이라 할 때, $a_{10}$의 값을 구하시오.