함수의 연속과 다항함수의 성질

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$와 함수 $g(x) = \frac{x^2-1}{|x-1|} \cdot \frac{x^2-2x-3}{x-3}$ 에 대하여, 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 상수 $a, b, c$가 존재한다. $f(0) = 6$, $f(-1) = 10$, $f(2) = -2$일 때, $a+b+c$의 값은?