함수의 극한과 연속 고난도 문제

문제

함수 $f(x)$를 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-x-2}{|x-2|} & (x \ne 2) \\ 0 & (x=2) \end{cases}$ 라고 하자. 이차함수 $g(x) = ax^2+bx+c$에 대하여 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $h(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이다. (나) $\lim_{x \to 0} h(x) = 6$ (다) $\lim_{x \to \infty} \frac{h(x)}{x^3+1} = 2$

이때, $a+b+c$의 값을 구하시오.